考卷
臺中市私立新民高中附設國中 114學年 第一學期 模擬考 數學
53 題，其中 53 題已有解答。
- 1設 f ( x) = ax + b 為線型函數,若 f (−50) = −77 且 f (−30) = −47 ,則 f (10) 之值為何?已有解答
- 2為了研究光線反射問題,小明將所觀測的實際狀況繪於坐標平面上研究。已知入射光通過 P ( −2 , 3) ,直射到原點 (0 , 0) 後以 y 軸為法線反射,若反射遵守反射定律,則反射光所在之直 線的斜率為何? 3已有解答
- 3若多項式 f ( x ) 除以 x 2 − 5 x + 4 的餘式為 x + 2 ;除以 x 2 − 5 x + 6 的餘式為 3 x + 4,則多項式 f ( x ) 除 以 x 2 − 6 x + 8 的餘式為何?已有解答
- 4在坐標平面上,已知點 ( , a − b) 在第三象限,其中 a 、 b 皆為實數,則下列敘述何者錯誤?已有解答
- 5在坐標平面上,點 O 為原點,若 P (12 , k ) 為標準位置角 θ 終邊上一點,則下列敘述何者錯誤? 12已有解答
- 6滿足絕對值不等式| 2 x − 3 | ≤ 4 的整數解共有多少個?已有解答
- 7坐標平面上,一直線 L1 ,其方程式為 3 x + 2 y − 5 = 0 。若直線 L2 與直線 L1 互相垂直,則下列何 者可能是直線 L2 之方程式?已有解答
- 8小毅的家族有一塊三角形觀光果園用地,小毅為了計算果園的面積,特別利用空拍機攝影,將 其位置繪於坐標平面上,若此果園的三頂點分別為 A(3 , 1)、 B ( −5 , 7)、C ( −1 , − 1),且經過計算, 直線 AB 的方程式為 3 x + 4 y − 13 = 0 ,則三角形果園在坐標平面上的面積之值為何?已有解答
- 9坐標平面上有四個二次函數的圖形,其方程式如下,則哪一個二次函數的圖形開口最大? 甲: y = −3( x − 1) 2 + 5 乙: y = 2 x 2 − 10 x + 1 1 丙: y = − x 2 + 3 2 丁: y = ( x − 1)( x − 3)已有解答
- 10已知二次函數 f ( x) = −3 x 2 − 6 x + 2 ,當 x = a 時, f ( x ) 有最大值 b ,則 a − b 之值為何?已有解答
- 11若二次函數 f ( x ) = −2 x 2 + ax + b 的圖形,頂點坐標為 ( −2 , 3) ,則 a − b 之值為何?已有解答
- 12坐標平面上,若 A(3 , 2) 、 B (k , 2k + 1) 、 C (5 , 8) 三點在同一條直線上,則 k 之值為何?已有解答
- 13坐標平面上,已知 P 點在第四象限, P 點到 x 軸之距離為 5,且 P 點到 y 軸距離為到 x 軸距離的 2 倍,若 P 點之坐標為 ( a , b) ,則 a + b 之值為何?已有解答
- 14坐標平面上有兩點 A(2 , 6) 、 B (−3 , 4) ,則下列哪一條直線與 AB 沒有交點? 7已有解答
- 15如圖(一)所示,小英丟球的軌跡是一個二次函數 y = − x 2 + 2 x + k 的 3 部份圖形,已知小英是在此二次函數的頂點 A( a , b) 將球丟出,且從 點 B (0 , 1) 進入袋中,則 a + b 之值為何?已有解答
- 16下列二次函數圖形中,何者與 x 軸的交點最多?已有解答
- 17若直線 L : ax − by + 5 = 0 通過第二、三、四象限,則點 (ab , a − b) 在第幾象限?已有解答
- 18曾經有一段時間,畢業生會在校園的某處埋下「時光蛋」,蛋中會放值得紀念的物品,或者是 寫給未來自己的信。相約在 10 年後某天,一起回到學校挖出這些回憶。小萌怕大家忘了埋藏 地點,便在筆記上寫下相關線索: 「以校門口為原點,學務處坐標記為(200 , 100),圖書館坐標 為 ( −500 , 625) ,而時光蛋就在學務處與圖書館的連線上,以步行距離計算,此處距離學務處 280 步,距離圖書館 210 步。」若將每步之距離視為定值,而時光蛋之坐標為 ( p , q ) ,則 p + q 之值為何?已有解答
- 19根據英國研究指出,理想工作環境的分貝數介於 30 分貝至 70 分貝之間(含)。若其中一個參與 調查的工作場所之檢測結果為 x 分貝,且將上述分貝數用 | x − a | ≤ b 來表示,則 ab 之值為何?已有解答
- 20已知坐標平面上四點 A(−7 , 2) 、 B(4 , 8) 、 C (9 , 4) 、 D(α , β ) 分別為平行四邊形 ABCD 的頂點 坐標,則 α + β 之值為何?已有解答
- 21某農場種植的草莓在市場上販售。已知草莓的種植成本為每公斤 50 元,其他固定成本為 2000 元。若草莓的單位售價為每公斤 x 元時,其銷售量為 (300 − 2 x) 公斤,則農場可得總利潤最多為 多少元?已有解答
- 22某生態保護區管理單位利用無人機進行巡邏。在坐標平面上,若無人機從基地 O (0 , 0) 出發, 以固定高度並採直線飛行,計劃依序巡邏三個目標點 A (3 , 4)、 B (8 , 4)、 C (5 , 0)後返回基地, 則無人機總飛行距離為何?已有解答
- 23在一張比例尺為 1:10000 的地圖上,量得兩地 A 和 B 的坐標分別為(2 , 3)和(8 , 9)。若在地圖 上有一點 P 位於連接 A 和 B 的直線道路上,且從 A 到 P 的實際距離是從 P 到 B 的實際距離的兩 倍,則在地圖上點 P 的坐標為何?已有解答
- 24已知不等式 | 2 x − 3 | < 6 有 m 個整數解,而不等式 | x + 3 | > 5 的最小正整數解為 n ,則 m + n 之值 為何?已有解答
- 25某水庫在乾旱期間水位持續下降。管理員記錄了連續五天的水位高度,如表(一)所示: 表( 一) 日期 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 水位高度(公尺) 150.5 150.3 150.1 149.9 149.7 假設水位的下降速率是固定的,若將日期視為變數 x ,水位高度視為變數 y ,根據上表的數據 找出水位高度 y 與日期 x 的直線方程式,則此直線方程式的斜率為何?已有解答
- 26在籃球比賽中,某次進攻戰術的跑位可以用直角坐標系描述。球員 A 原本位於點(1 , 2),接到 隊友傳球後沿直線移動到點(5 , 5),若球員 A 的移動路徑所在的直線方程式為 ax − 4 y + c = 0 , 則 c 之值為何?已有解答
- 27一家新創公司開發了一款創新手機保護殼。已知每個保護殼的成本為 50 元。根據市場調查, 他們發現這款保護殼的每週銷售量 Q ( 個 ) 與每個保護殼的售價 P ( 元 ) 之間存在以下關係: Q = −0.5 P + 200 ,其中售價 P 不得低於成本且不超過 400 元。公司希望每週的總收入至少能夠 達到 15000 元,以支付營運成本並確保公司獲利。依以上條件,若要滿足公司每週總收入的目 標,這款手機保護殼的售價 P 最低可設定為 α 元、最高可設定為 β 元,則 α + β 之值為何?已有解答
- 28若多項式 f ( x ) = 13 x 4 − 67 x3 − 23 x 2 + 161x + 8 ,則 f (5) 之值為何?已有解答
- 29若多項式 f ( x) = x 20 − 320 ,則下列何者為 f ( x ) 的因式?已有解答
- 30若多項式 f ( x) = x 3 − 2 x 2 + 3 x − 1 與 g ( x) = x 2 + x − 2 ,則 f ( x) + g ( x) 除以 g ( x) + 1 的餘式為何?已有解答
- 31若方程式 (13 − 0.5)[132 + 13 × 0.5 + 0.25] = 133 − α ,則 α 之值為何?已有解答
- 32多項式 ( x 3 + 3 x − 8) 2 的展開式中, x 4 項的係數為何?已有解答
- 33下列哪一個方程式有兩個相等的實根?已有解答
- 34若二次方程式 x 2 + kx − 8 = 0 的一個根為 −2 ,則另一個根為何?已有解答
- 35小瑛和阿得在一直線的跑道上賽跑,小瑛先跑 50 公尺後,阿得才開始起跑。若兩人賽跑的速 率均保持定值,小瑛的速率為每秒 4 公尺,阿得的速率為每秒 6 公尺,則阿得在起跑後多少公 尺處追上小瑛?已有解答
- 36阿得正在執行一個為期 4 週的健康飲食計畫。假設營養師建議他每天攝取的總卡路里 C (大卡) 須符合以下公式:C = 1800 − 250(W0 − W ) ,其中 W0 為健康飲食計畫開始時的體重(公斤),W 為 結束時計畫達成的體重。已知阿得開始時的體重為 80 公斤,且阿得希望結束時的體重可下降 2 公斤。阿得查閱資料得知,每公克蛋白質提供熱量約 4 大卡。若阿得每天攝取的總卡路里 1 恰好符合建議值,且蛋白質提供的熱量占總卡路里的 ,則下列敘述何者正確? 5已有解答
- 37某社區正在規劃一個長方形花圃,園藝師阿得最初設計的花圃長為 10 公尺,寬為 6 公尺。然 而社區居民反映希望花圃的面積能更大一些,因此阿得決定在原設計的長和寬都增加相同的長 度。若社區委員會要求新的花圃面積必須剛好達到 96 平方公尺,則此時新的花圃周長為多少 公尺?已有解答
- 38某飲料店舉辦促銷活動,購買相同品項的飲料第二杯可享半價優惠。已知買兩杯相同的珍珠奶 茶,總共須支付 90 元,若小瑛帶 100 元去飲料店只買一杯珍珠奶茶,則可找回多少元?已有解答
- 39在數學史中,祖沖之利用「密律」 = 3.14159292035 來得到圓周率 π 的近似值,且精確 113 到小數點後第 6 位,試利用此結果,比較 10 、 3.14 與 π 的大小關係為何?已有解答
- 40化簡 ( + ) 之值為何? 5 −1 5 +1 1已有解答
- 41已知坐標平面上 P (a + 3 , 3)、Q(2 , a ) 兩點,若點 R (5 , 4) 在 PQ 的垂直平分線上,則 a 之值為何?已有解答
- 42小育從地圖上的點 A( p , q ) 開始沿直線道路等速前進,2 小時後經過位在 B ( −1 , 7) 的加油站,再 過 4 小時到達終點 C (3 , 5) ,則 p + q 之值為何?已有解答
- 43已知一無人機水平飛行至地面一干擾器正上方 100 公尺處時,頓時失去動力,以拋物線軌跡掉 落在離干擾器 10 公尺的地面上,則過程中無人機掉落至離地高 13 公尺時,距離干擾器多少公 尺?已有解答
- 44設 k 為整數,已知一元二次不等式 kx 2 − 6 x + k ≤ 0 無實數解,則 k 的最小值為何?已有解答
- 45化簡 (1 + sin135° + cot150°) × (1 + cos135° + tan 240°) 之值為何? 7已有解答
- 46設 θ 為第三象限角,則 tan θ + cot θ 的最小值為何?已有解答
- 47已知 tan θ = −2 ,則 2 之值為何? 2sin θ − cos θ 3已有解答
- 48若 y = a sin(bx + c) + d 的圖形,如圖(二)所示,且 a > 0 、 b > 0 、 0 < c < 2π ,則 a + b + c + d 之值 為何? 圖(二) 3已有解答
- 49設 a = cos1 、 b = cos 2 、 c = cos 3 ,則 a 、 b 、 c 的大小關係為何?已有解答
- 50已知 f ( x ) = 2sin 2 x − 4sin x ,則 f ( x ) 的最大值為何?已有解答
- 51已知 cot 2 x − csc x = 0 ,則 csc x 之值為何? −1 − 5已有解答
- 52有一個三角柱形帳篷,如圖(四)所示,若 AB = 4 公尺、 AC = 2 公尺、 BC = 3 公尺,則此帳篷的高 CG 為多少公尺? 3已有解答
- 53已知垂直地面上有一個正方形支架 ABCD 與正三角形支架 ABE ,如圖 ( 五 ) 所 示,其中 AB = 6 公尺,若為了穩固結構需要在 CE 連接鋼索,則此鋼索為多少公 尺?已有解答