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考卷

臺中市私立新民高中附設國中 114學年 第二學期 模擬考 數學

41 題，其中 41 題已有解答。

  1. 1小吳在馬路上騎著一台腳踏車,若坐標平面上每一單位長記為 1 公里,現他在坐標平面 A(1 , 2) 開始以每小時 10 公里的等速度沿向量 (3 , − 4) 的方向直線前進 2 小時,則此時小吳到達的位置 坐標為何?已有解答
  2. 2試問 57°為多少弳? π 19π已有解答
  3. 3加拿大北部有一形狀接近「完美圓形」的巨大湖泊,當地稱作「水晶之眼」,相傳此湖泊由隕 石撞擊而成,被譽為世界第八奇觀。設此湖所在的平面經坐標化後,湖岸的圓可用概略以方程 式 x 2 + y 2 = 1750 2 來描述,若想要在湖面上建一長橋,其所在直線方程式為 3 x + 4 y = 2450 ,則 橋長為何?已有解答
  4. 4已知坐標平面上四條直線方程式 L1:2 x + 3 y + 4 = 0 、 L2 : y = 3x + 4 、 L3 :x − 3 = −2( y + 1) 、 x y L4 : + = 1 的斜率分別為 m1 、 m2 、 m3 、 m4 ,則 m1 、 m2 、 m3 、 m4 的大小關係為何? 2 3已有解答
  5. 5小安正在駕訓班練習開車,教練要他「右轉」 ,若他先將方向盤往順時針方向轉 1.5 圈,為了調 整方向,他又將方向盤往逆時針方向轉回 270°,則此時方向盤被轉動的有向角為多少度?已有解答
  6. 6試問多項式 f ( x) = 2025 x114 + 11x11 + 10 x10 + 2 除以 x + 1 的餘式為何?已有解答
  7. 7已知鉛直線 x = −1 分別與二次函數 y = ax 2 、 y = bx 2 、 y = cx 2 交 1 於 A(−1 , 1) 、 B(−1 , ) 、 C ( −1 , − 1) 三點,另有一水平線 y = d 通 2 過 C 點,如圖(二)所示,有關 a 、 b 、 c 、 d 的大小,下列敘述何 者正確?已有解答
  8. 8已知一個矩形的長為 2 x + 3 公分,寬為 x + 5 公分,在這個矩形中,挖去一個邊長為 x + a 公分的 正方形,其中 a 為常數,若剩下的面積可被 x + 6 整除,則 a 之值可能為何?已有解答
  9. 9有位地主擁有一塊三角形土地,在土地的三頂點各設有木樁,現將土地建立在坐標平面上,三 個木樁位置分別為點 A(2 , 3)、B (8 , − 1)、C (4 , 7),若地主想要在 BC 邊上的 D 點打一個新木樁, 並從 A 點拉繩索至 D 點來平分這塊三角形土地給他的兩個孩子,則 AD 的長度為何?已有解答
  10. 10若多項式 f ( x ) 除以 x + 1 的餘式為 3;除以 x − 2 的餘式為 5,則 f ( x ) 除以 ( x + 1)( x − 2) 的餘式為何? 2 11已有解答
  11. 11以時鐘鐘面中心點建立方位:鐘面上 3 的方向為正東方、鐘面上 9 的方向為正西方、鐘面上 6 的方向為正南方、鐘面上 12 的方向為正北方。當鐘面時間停在 10 點 35 分時,分針的方位為何?已有解答
  12. 12小劉解方程式「 3sin 2 x − 14sin x + 8 = 0 ,得 sin x = a 」 ;小德解方程式「 2sin 2 x + 11cos x − 7 = 0 , 得 cos x = b 」;小華解方程式「 6 tan 2 x + 7 tan x − 5 = 0 ,得 tan x = c 」,則下列敘述何者正確? 2 1已有解答
  13. 13已知平面上兩向量 = ( −1 , 3) , = (2 , − 2) ,若 ,則向量 =?已有解答
  14. 14小宇在正方形的四個邊各寫一個正整數,並在每個頂點寫上其相鄰兩個邊的乘積。若所有頂點 的數之和為 21,則正方形四個邊上的數之和為何?已有解答
  15. 15多項式 f ( x) = (3 x 2 − x + 1)( x3 + 2 x 2 − 3 x + 5) 展開後各項係數和為何?已有解答
  16. 16古希臘羅馬神話中,有一位愛神邱比特,背上一對翅膀,手拿一副 弓箭,祂的箭象徵著愛的神力,一旦被射中便會陷入愛河。如圖(三) 所示,在坐標平面上,邱比特想要射中坐標為 (5 , − 7) 的紅心,將「弓」 的兩端分別置於 A( −12 , 4) 、 B ( −2 , 12) 兩點,拉著弦扣著箭,使箭 與 AB 垂直且發射後沿著直線 L 前進,即可射中目標紅心,若直線 L 的方程式為 x + ay + b = 0 ,則下列何者正確?已有解答
  17. 17暑假期間,小文設計了一款數學電玩遊 戲,遊戲角色「兔兔」利用腳底端的感應 器「」所經過之路徑來收集此路徑通過 的胡蘿蔔。在坐標平面上,假設跳臺上有 3 一隻兔兔腳底端感應器的坐標為 (0 , ) , 2 小文設計了四個胡蘿蔔感應器「」點坐 標如圖(四)所示,兔兔跳躍的路徑呈二次 圖(四) 函數圖形。若兔兔跳躍後,腳底端感應器 的最高點坐標為(1 , 2),則兔兔能收集到哪一個感應器坐標上的胡蘿蔔? 3 3已有解答
  18. 18臺中市大坑登山步道簡易導覽圖,如 圖(五)所示。若經測量得知,頭嵙山與 怡樂亭的直線距離為 600 公尺,怡樂 亭與逍遙亭的直線距離為 150 3 公 尺,怡樂亭與逍遙亭、頭嵙山之間的 夾角為 150°,則頭嵙山與逍遙亭的直 線距離為多少公尺?已有解答
  19. 19若 α 、 β 為方程式 x 2 + 4 x + 2 = 0 的兩個實根,則 α 2 − 4 β − 12 之值為何?已有解答
  20. 20已知 HOW FUN 遊樂園的門票定價每張 350 元,團體票 30 張(含)以上整團享有八折優惠;50 張(含)以上整團享有七折優惠。若有一旅遊團人數不超過 50 人,則人數至少是幾人時,購買 50 張團體票反而比較便宜?已有解答
  21. 21在平面上,點 P(sin 2025° cos114° , csc114° tan 2025°) 在第幾象限?已有解答
  22. 22在平面上一拋物線如圖(一)所示,請問可能是下列哪一個函數圖 形?已有解答
  23. 23已知 x + 1 為 f ( x) = x 3 + kx + 2 的因式,則下列何者也是 f ( x) 的因式?已有解答
  24. 24已知多項式 f ( x ) 除以 2 x − 4 的商式為 x 2 + x + 1 ,餘式為 R ,則下列何者正確?已有解答
  25. 25平面上,四條直線方程式分別為 y = ax + 1、 y = bx + 5、 y = cx − 2、 y = dx − 3 , 其圖形如圖(二)所示,試求 a 、 b 、 c 、 d 之值何者最大?已有解答
  26. 26若 f ( x ) 為一次函數,且 f (2025) − f (2024) = 2 ,則 f (113) − f (115) 之值為何?已有解答
  27. 27將一條東西向的道路數線化,已知在此道路上有電動三輪車租借站與休息站,分別位於 3 與 6 的位置。遊客租借電動三輪車騎乘時,偶爾發生電力不足無法移動而需要道路救援。由於成本 考量,若「救援位置與租借站距離」不大於「租借站與休息站距離」的 2 倍,才能免費道路救 援,請問可以支援免費道路救援的路徑長為何?已有解答
  28. 28若 f ( x + 1) = x3 − x + 4 ,則 f ( x ) 除以 x + 1 的餘式為何?已有解答
  29. 29已知等比級數 Sn = 1 + 2 + 4 + 8 +  + 2n −1 ,則滿足 S n ≥ 2025 之最小整數 n 為何?已有解答
  30. 30某羽球比賽共 64 位選手參賽,採單淘汰制,每輪淘汰一半選手,最後一位即為冠軍。在第一 輪淘汰的選手每人可得 5000 元,在第二輪淘汰的選手每人可得 10000 元,以此類推,在第 k 輪 淘汰的選手每人可得 5000k 元,而冠軍只有一人,可得 100 萬元,試問主辦單位需準備的比賽 獎金全部為多少元?已有解答
  31. 31如圖(三)所示, ΔABC 是邊長為 4 的正三角形,以各邊長為直徑且各邊中點為 圓心畫圓,斜線部分為勒洛三角形又稱曲邊三角形,在實用工具、建築、藝 術和科學展示等領域都有著廣泛的應用,啟發了轉子引擎的設計與幫助提升 掃地機器人的清潔效率。請問圖(三)的勒洛三角形面積為何?已有解答
  32. 32已知 θ 為第四象限角,且 sin 2 θ − cos 2 θ = ,則 sin θ 之值為何? 4 10已有解答
  33. 33直角 ΔABC 中, ∠C = 90° ,如圖(四)所示。若 AB = 13 , AC = 5 , ∠A 之角 平分線交 BC 於 D 點,且 ∠DAB = θ ,則 tan θ 之值為何? 2已有解答
  34. 34已知 i = −1 ,且 a 為複數,若 3 + i 為方程式 x 2 + ax + 5 − 5i = 0 之一根,則 a 之值為何?已有解答
  35. 35設三平面向量 = (2 , 1) 、 = (−3 , 2) 、 = (3 , p ) ,若( )·( ) = 9 ,則所有滿足條件的 p 值總和為何?已有解答
  36. 36已知等比數列共 2n 項,若奇數項和為 182,偶數項和為 546,首項為 2,則此數列公比為何?已有解答
  37. 37已 知 平 面 上 四 個 點 A( , ) 、 B( , ) 、 C( , ) 、 D( , ) ,若 114 2025 114 2025 2025 114 114 2025 m = (m , n) ,則 之值為何? n已有解答
  38. 38在平面上,已知直線 L : 3 x − 4 y + 20 = 0 與圓 C : x 2 + y 2 = 9 ,則圓上到直線之距離為整數的點 共有多少個?已有解答
  39. 39若 = ( x , y ) ,且 = 2 ,則 3 x + 4 y 的最大值為何?已有解答
  40. 40馬拉松(marathon)是一項考驗耐力的長跑運動,而全程馬拉松(簡稱全馬)的賽程距離為 42 公里 又 195 公尺。小淨要參加全馬比賽,想賽前訓練。他從 7 月 14 日星期一開始做 5 公里的訓練, 每天訓練一次,且下次訓練都會增加 800 公尺,每逢週六日休息,若小淨在賽前訓練時,最快 達到全馬距離的日期為 m 月 n 日,則 m + n 之值為何?已有解答
  41. 41有一工業區地圖經坐標化後如圖(五)所示。今政府預計在第一象限內興建 一工廠,並規劃此工廠與兩條河流(方程式為 x = 0、3 x + 4 y = 48 )等距離, 此外與兩倉庫 A(6 , 1) 、 B (2 , 5) 也等距離,經過計算後發現工廠的坐標為 ( x , y ) ,則 x + y 之值為何? 20已有解答