國中・數學 解答

如圖(三)所示, ΔABC 是邊長為 4 的正三角形,以各邊長為直徑且各邊中點為 圓心畫圓,斜線部分為勒洛三角形又稱曲邊三角形,在實用工具、建築、藝 術和科學展示等領域都有著廣泛的應用,啟發了轉子引擎的設計與幫助提升 掃地機器人的清潔效率。請問圖(三)的勒洛三角形面積為何?

某羽球比賽共 64 位選手參賽,採單淘汰制,每輪淘汰一半選手,最後一位即為冠軍。在第一 輪淘汰的選手每人可得 5000 元,在第二輪淘汰的選手每人可得 10000 元,以此類推,在第 k 輪 淘汰的選手每人可得 5000k 元,而冠軍只有一人,可得 100 萬元,試問主辦單位需準備的比賽 獎金全部為多少元?

已知等比級數 Sn = 1 + 2 + 4 + 8 +  + 2n −1 ,則滿足 S n ≥ 2025 之最小整數 n 為何?

若 f ( x + 1) = x3 − x + 4 ,則 f ( x ) 除以 x + 1 的餘式為何?

將一條東西向的道路數線化,已知在此道路上有電動三輪車租借站與休息站,分別位於 3 與 6 的位置。遊客租借電動三輪車騎乘時,偶爾發生電力不足無法移動而需要道路救援。由於成本 考量,若「救援位置與租借站距離」不大於「租借站與休息站距離」的 2 倍,才能免費道路救 援,請問可以支援免費道路救援的路徑長為何?

若 f ( x ) 為一次函數,且 f (2025) − f (2024) = 2 ,則 f (113) − f (115) 之值為何?

平面上,四條直線方程式分別為 y = ax + 1、 y = bx + 5、 y = cx − 2、 y = dx − 3 , 其圖形如圖(二)所示,試求 a 、 b 、 c 、 d 之值何者最大?

已知多項式 f ( x ) 除以 2 x − 4 的商式為 x 2 + x + 1 ,餘式為 R ,則下列何者正確?

已知 x + 1 為 f ( x) = x 3 + kx + 2 的因式,則下列何者也是 f ( x) 的因式?

在平面上一拋物線如圖(一)所示,請問可能是下列哪一個函數圖 形?

在平面上,點 P(sin 2025° cos114° , csc114° tan 2025°) 在第幾象限?

已知 HOW FUN 遊樂園的門票定價每張 350 元,團體票 30 張(含)以上整團享有八折優惠;50 張(含)以上整團享有七折優惠。若有一旅遊團人數不超過 50 人,則人數至少是幾人時,購買 50 張團體票反而比較便宜?

若 α 、 β 為方程式 x 2 + 4 x + 2 = 0 的兩個實根,則 α 2 − 4 β − 12 之值為何?

臺中市大坑登山步道簡易導覽圖,如 圖(五)所示。若經測量得知,頭嵙山與 怡樂亭的直線距離為 600 公尺,怡樂 亭與逍遙亭的直線距離為 150 3 公 尺,怡樂亭與逍遙亭、頭嵙山之間的 夾角為 150°,則頭嵙山與逍遙亭的直 線距離為多少公尺?

暑假期間,小文設計了一款數學電玩遊 戲,遊戲角色「兔兔」利用腳底端的感應 器「」所經過之路徑來收集此路徑通過 的胡蘿蔔。在坐標平面上,假設跳臺上有 3 一隻兔兔腳底端感應器的坐標為 (0 , ) , 2 小文設計了四個胡蘿蔔感應器「」點坐 標如圖(四)所示,兔兔跳躍的路徑呈二次 圖(四) 函數圖形。若兔兔跳躍後,腳底端感應器 的最高點坐標為(1 , 2),則兔兔能收集到哪一個感應器坐標上的胡蘿蔔? 3 3

古希臘羅馬神話中,有一位愛神邱比特,背上一對翅膀,手拿一副 弓箭,祂的箭象徵著愛的神力,一旦被射中便會陷入愛河。如圖(三) 所示,在坐標平面上,邱比特想要射中坐標為 (5 , − 7) 的紅心,將「弓」 的兩端分別置於 A( −12 , 4) 、 B ( −2 , 12) 兩點,拉著弦扣著箭,使箭 與 AB 垂直且發射後沿著直線 L 前進,即可射中目標紅心,若直線 L 的方程式為 x + ay + b = 0 ,則下列何者正確?

多項式 f ( x) = (3 x 2 − x + 1)( x3 + 2 x 2 − 3 x + 5) 展開後各項係數和為何?

小宇在正方形的四個邊各寫一個正整數,並在每個頂點寫上其相鄰兩個邊的乘積。若所有頂點 的數之和為 21,則正方形四個邊上的數之和為何?

已知平面上兩向量 = ( −1 , 3) , = (2 , − 2) ,若 ,則向量 =?

小劉解方程式「 3sin 2 x − 14sin x + 8 = 0 ,得 sin x = a 」 ;小德解方程式「 2sin 2 x + 11cos x − 7 = 0 , 得 cos x = b 」;小華解方程式「 6 tan 2 x + 7 tan x − 5 = 0 ,得 tan x = c 」,則下列敘述何者正確? 2 1

以時鐘鐘面中心點建立方位:鐘面上 3 的方向為正東方、鐘面上 9 的方向為正西方、鐘面上 6 的方向為正南方、鐘面上 12 的方向為正北方。當鐘面時間停在 10 點 35 分時,分針的方位為何?

若多項式 f ( x ) 除以 x + 1 的餘式為 3;除以 x − 2 的餘式為 5,則 f ( x ) 除以 ( x + 1)( x − 2) 的餘式為何? 2 11

有位地主擁有一塊三角形土地,在土地的三頂點各設有木樁,現將土地建立在坐標平面上,三 個木樁位置分別為點 A(2 , 3)、B (8 , − 1)、C (4 , 7),若地主想要在 BC 邊上的 D 點打一個新木樁, 並從 A 點拉繩索至 D 點來平分這塊三角形土地給他的兩個孩子,則 AD 的長度為何?

已知一個矩形的長為 2 x + 3 公分,寬為 x + 5 公分,在這個矩形中,挖去一個邊長為 x + a 公分的 正方形,其中 a 為常數,若剩下的面積可被 x + 6 整除,則 a 之值可能為何?